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176 V. Winkel und Abstände 1. Schnittwinkel 177

C. Der Schnittwinkel von zwei Ebenen Übungen

Wir untersuchen zwei Ebenen E 1 und E 2 , E 2 5. Schnittwinkel Gerade/Gerade
die sich in einer Geraden s schneiden. Zeigen Sie, dass die Raumgeraden g und h sich schneiden, und berechnen Sie den Schnitt­
g 2
s E 1 punkt S und den Schnittwinkel g.
( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
Dann bilden zwei Geraden g 1 und g 2 , die g 2 1 3 2 2 1 2 2
( ) ( )
__ ›
__ ›
__ ›
__ ›

senkrecht auf s stehen und sich wie abge- g 1 a) g: x = 2 + r · 1 , h: x = 1 + s · 0 b) g: x = 2 + r · 1 , h: x = 5 + s ·

− 1

bildet schneiden, den Winkel g ≤ 90°. 2 − 1 2 − 1 2 1 2 2
( ) ( )
( ) ( )
__ › 4 2 __ › 10 2

c) g: x = 4 + r · 2 , h: x = + s · 2 d) g durch A (0 | 6 | 0), B (0 | 0 | 3)

10
Man bezeichnet diesen Winkel als Schnitt- g 2 n 1 n 2 1 − 1 2 1
winkel der Ebenen E 1 und E 2 . g h durch C (4 | 2 | 0), D (2 | 2 | 1)
g
__ › __ ›
Die Normalenvektoren n und n der Ebe- g 1 6. Schnittwinkel Gerade/Ebene

1
2
nen E 1 und E 2 bilden miteinander exakt den Die Gerade g schneidet die Ebene E. Berechnen Sie den Schnittpunkt S und den Schnitt­

gleichen Winkel, denn sie stehen jeweils winkel g:
( ) (
( ) ( ) [ ( )] ( )
1
1
0
3
2
0
senkrecht auf den Geraden g 1 und g 2 , so Schnittwinkel Ebene/Ebene a) g: x = 0 + r · 1 , E: x − 0 · 3 = 0 b) g: x = 2 + r · 1 ) , E: − x + y + 2 z = 6

__ ›
__ ›
__ ›

dass sich der Winkel g überträgt.
Schneiden sich zwei Ebenen E 1 und E 2 2 1 3 2 4 2

( ) ( ) ( )
( ) ( )
__ ›
__ ›
mit den Normalenvektoren n und n , so 2 1 1 2 0

__ ›
__ ›

Daher lässt sich der Schnittwinkel g zweier gilt für ihren Schnittwinkel g: 1 2 c) g: x = 2 + r · 1 , E: x = 0 + s 0 + t

− 1
Ebenen nach der rechts aufgeführten Kosi- __ › · 2| 1 1 2 − 4 2
__ ›

______
.

nusformel mit Hilfe der Normalenvektoren cos g = __ › | n
n 1

n 2|
__ ›
n 1|

| · |

der beiden Ebenen berechnen. 7. Schnittwinkel Gerade/Koordinatenebene
In welchen Punkten und unter welchen Winkeln durchdringt die Gerade g die angegebenen
Koordinatenebenen? Fertigen Sie ein Schrägbild an.
Beispiel: Schnittwinkel Ebene/Ebene 0 0 4 0 2 − 2 2 − 2
[ ( )] ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
__ ›
__ ›
__ ›
__ ›

Die Ebenen E 1 : 4 x + 3 y + 2 z = 12 und E 2 : x − 0 · 3 = 0 schneiden sich. a) g: x = 1 + r · 1 b) g: x = 3 + r · 1 c) g: x = 2 + r · 1

Berechnen Sie den Schnittwinkel g. 6 2 2 − 1 2 2 3 − 1
E: x­y­Ebene E: x­y­Ebene E: x­z­Ebene
Lösung: F: x­z­Ebene F: y­z­Ebene F: y­z­Ebene
Wir bestimmen zunächst Normalenvekto- Normalenvektoren:
ren von E 1 und E 2 . 0 8. Schnittwinkel Ebene/Ebene
1 ( ) (

__ ›
4 __ ›

Die Koeffizienten in der Koordinatenglei- n = 3 , n = 3 )

2
chung von E 1 (4, 3 und 2) sind die Koordi- 2 2 Die Ebenen E 1 und E 2 schneiden sich. Bestimmen Sie den Schnittwinkel g.

c) E 1 : 2 x + z = 1
a) E 1 : 2 x − y + 3 z = 6

b) E 1 : x + y = 3
naten eines Normalenvektors von E 1 . Ein E 2 : x − y − z = 3 E 2 : = 1 E 2 : x − z = 0

y

Normalenvektor von E 2 kann aus der gege- Schnittwinkel:
__ › ( ) ( )
4
benen Normalenform ebenfalls direkt ent- | n | 2 | 0

3 · 3

2|
__ ›

nommen werden. cos g = __ › n 1 · __ › ______ = ___ 13 ___ 9. Hausdach Antenne

_______
______
=

2

( ) ( )
4
n 2|
n 1|

| | | 2| | 2| 0 √ 29 √ 13 Exakt in der Mitte der rechten Dach­ (12 m)

·

·

3 · 3

Mit Hilfe der Schnittwinkelformel erhalten fläche der abgebildeten Halle tritt eine Stab
wir cos g ≈ 0,6695 und daher g ≈ 47,97°. cos g ≈ 0,6695 ⇒ g ≈ 47,97° 12 m hohe Antenne aus, die durch
einen Stahlstab fixiert wird, der 4 m
unterhalb der Antennenspitze sowie in
Übung 4 Schnittwinkel Ebene/Ebene der Mitte am Dachfirst verschraubt ist. 6 m

Bestimmen Sie den Schnittwinkel der Ebenen E 1 und E 2 sowie die Gleichung der Schnittgeraden. a) Welchen Winkel bildet die Antenne
[ ( )] ( ) __ › ( ) ( ) ( ) mit der Dachfläche?
2
1
1
1
3
__ ›

a) E 1 : x − 0 · = 0 b) E 1 : x + 2 y + 2 z = 6 c) E 1 : x = 2 + s · + t · b) Welchen Winkel bildet der Stahlstab 10 m

− 1
− 4

− 2
− 3
1
− 3
2
1
E
E 2 ist die x-y-Ebene. 2 : x − y = 0 2 : x + 3 z = 4 mit der Antenne bzw. mit der Dach­ 16 m
E
fläche?
12 m
_662BF_9783060406678 Inhalt_S176 176 5/11/2020 1:51:05 PM _662BF_9783060406678 Inhalt_S177 177 5/11/2020 1:51:05 PM
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